Integración múltiple con MAPLE V (I)

Repaso de integración simple. Sumas de Darboux-Riemann.

Inicialización

> restart:

> with( plots ):

> setoptions( labels=[`x`,`y`] ):

> setoptions3d( labels=[`x`,`y`,`z`] ):

> with( student ): # librería para cálculo de una variable

> read( "a:calcplot2.txt" ): # librería para cálculo de varias variables  (especificar adecuadamente la ruta del directorio donde se encuentra, si no es el mismo de la práctica)

>

Repaso de integración simple

Recuerda que la integral de Riemann se define como límite de sumas de Darboux-Riemann. El siguiente ejemplo ilustra gráfica y numéricamente dichas sumas y su convergencia a la integral.

Introduce el integrando y los extremos del intervalo:

> f := x/4 + sin(5*x);

> domx := x = -1 .. 2 ;

Comprueba que has introducido correctamente los datos del problema:

> PROB := Int( f, domx );

>

Con la siguiente sentencia podremos hacer aparecer en pantalla una animación que representa la gráfica de la función así como las sumas de Darboux-Riemann por la izquierda correspondientes a particiones cada vez más finas. Ejecuta el comando; espera a que aparezca la gráfica; sitúa la flecha del ratón sobre ella y pulsa el botón derecho; selecciona Animation ; finalmente, selecciona Play . [En la versión en html, pincha la gráfica con el botón derecho del ratón y utiliza el menú contextual como habitualmente].

>

Ahora evaluamos numéricamente las sumas de Darboux-Riemann anteriores:

> seq( evalf(leftsum( f, domx, 2^n )), n=1..8 );

Finalmente, comparamos dichas aproximaciones con el valor exacto de la integral:

> PROB = evalf( PROB );

Ejercicio 1.- Repite la práctica para un problema de tu elección. Por ejemplo, puedes examinar la integral de o de sobre cualquier intervalo.

Ejercicio 2.- Repite la práctica considerando sumas por la derecha en vez de sumas por la izquierda .

>

Integrales dobles: Sumas de Darboux-Riemann

Introduce el integrando f en términos de las variables x e y:

> f := cos(x)*sin(y);

Introduce el intervalo de variación de x :

> domx := x = 0 .. Pi/2;

Introduce el intervalo de variación de y :

> domy := y = 0 .. Pi/2;

Comprueba que has introducido correctamente los datos del problema:

> PROB := Int( Int( f, domy ), domx );

>

Ahora presentaremos en pantalla una animación de las sumas de Darboux-Riemann construidas sobre sucesivos refinamientos de particiones uniformes. Podemos hacer variar el punto de vista.

> display( [ plot3d( f, domx, domy ), seq( blockapp( f, domx, domy, 2^n, 2^n ), n=1..4 ) ], insequence=true, axes=normal );

>

Hallamos los valores numéricos de las sumas de Darboux-Riemann correspondientes a las representaciones gráficas anteriores:

> seq( approxint2d( f, domx, domy, 2^n, 2^n ), n=1..4 );

Comparamos los valores aproximados así obtenidos con el valor exacto de la integral doble:

> PROB = evalf( PROB );

Ejercicio 3.- Cambia la función o/y los límites de integración en la práctica anterior para observar la convergencia de las sumas de Darboux-Riemann al valor de una integral doble.

>

Integrales triples: Sumas de Darboux-Riemann

Ya que las ideas son las mismas que para las integrales dobles, omitimos la visualización de las sumas de Darboux-Riemann [ ;-) .