Integración múltiple con MAPLE V (I)
Repaso de integración simple. Sumas de Darboux-Riemann.
Inicialización
> restart:
> with( plots ):
> setoptions( labels=[`x`,`y`] ):
> setoptions3d( labels=[`x`,`y`,`z`] ):
> with( student ): # librería para cálculo de una variable
> read( "a:calcplot2.txt" ): # librería para cálculo de varias variables (especificar adecuadamente la ruta del directorio donde se encuentra, si no es el mismo de la práctica)
>
Repaso de integración simple
Recuerda que la integral de Riemann se define como límite de sumas de Darboux-Riemann. El siguiente ejemplo ilustra gráfica y numéricamente dichas sumas y su convergencia a la integral.
Introduce el integrando y los extremos del intervalo:
> f := x/4 + sin(5*x);
> domx := x = -1 .. 2 ;
Comprueba que has introducido correctamente los datos del problema:
> PROB := Int( f, domx );
>
Con la siguiente sentencia podremos hacer aparecer en pantalla una animación que representa la gráfica de la función así como las sumas de Darboux-Riemann por la izquierda correspondientes a particiones cada vez más finas. Ejecuta el comando; espera a que aparezca la gráfica; sitúa la flecha del ratón sobre ella y pulsa el botón derecho; selecciona Animation ; finalmente, selecciona Play . [En la versión en html, pincha la gráfica con el botón derecho del ratón y utiliza el menú contextual como habitualmente].
>
Ahora evaluamos numéricamente las sumas de Darboux-Riemann anteriores:
> seq( evalf(leftsum( f, domx, 2^n )), n=1..8 );
Finalmente, comparamos dichas aproximaciones con el valor exacto de la integral:
> PROB = evalf( PROB );
Ejercicio 1.-
Repite la práctica para un problema de tu elección. Por ejemplo, puedes examinar la integral de
o de
sobre cualquier intervalo.
Ejercicio 2.- Repite la práctica considerando sumas por la derecha en vez de sumas por la izquierda .
>
Integrales dobles: Sumas de Darboux-Riemann
Introduce el integrando f en términos de las variables x e y:
> f := cos(x)*sin(y);
Introduce el intervalo de variación de x :
> domx := x = 0 .. Pi/2;
Introduce el intervalo de variación de y :
> domy := y = 0 .. Pi/2;
Comprueba que has introducido correctamente los datos del problema:
> PROB := Int( Int( f, domy ), domx );
>
Ahora presentaremos en pantalla una animación de las sumas de Darboux-Riemann construidas sobre sucesivos refinamientos de particiones uniformes. Podemos hacer variar el punto de vista.
> display( [ plot3d( f, domx, domy ), seq( blockapp( f, domx, domy, 2^n, 2^n ), n=1..4 ) ], insequence=true, axes=normal );
>
Hallamos los valores numéricos de las sumas de Darboux-Riemann correspondientes a las representaciones gráficas anteriores:
> seq( approxint2d( f, domx, domy, 2^n, 2^n ), n=1..4 );
Comparamos los valores aproximados así obtenidos con el valor exacto de la integral doble:
> PROB = evalf( PROB );
Ejercicio 3.- Cambia la función o/y los límites de integración en la práctica anterior para observar la convergencia de las sumas de Darboux-Riemann al valor de una integral doble.
>
Integrales triples: Sumas de Darboux-Riemann
Ya que las ideas son las mismas que para las integrales dobles, omitimos la visualización de las sumas de Darboux-Riemann [ ;-) .