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Integración múltiple con MAPLE V (II)

Teorema de Fubini

Inicialización

> restart:

> with( plots ):

> setoptions( labels=[`x`,`y`] ):

> setoptions3d( labels=[`x`,`y`,`z`] ):

> with( student ): # librería para cálculo de una variable

> read( "a:calcplot2.txt" ): # librería para cálculo de varias variables (especificar adecuadamente la ruta del directorio donde se encuentra, si no es el mismo de la práctica)

>

Integrales dobles: Teorema de Fubini

El objetivo de esta sección es ilustrar el cálculo de integrales dobles mediante integrales iteradas, así como facilitar la comprobación de que se han escrito correctamente los nuevos límites tras efectuar un cambio en el orden de integración.

Vamos a calcular la integral de la función sobre el recinto plano limitado por las rectas , escribiendo la integral doble como una integral iterada de las dos maneras posibles: dy-dx (regiones de tipo I o verticalmente simples) y dx-dy (regiones de tipo II u horizontalmente simples) .

Introducimos el integrando:

> f := x^3 * y + cos(x);

>

Regiones verticalmente simples: < < , < <

Introducimos los límites de integración: y= , y= , x=a, x=b.

> domy := y = 0 .. x ;

> domx := x = 0 .. Pi/2 ;

Comprobamos que hemos descrito correctamente el dominio:

> Dyx := dydxplot( domy, domx ): print(Dyx);

>

Comprobamos que hemos transcrito correctamente el problema:

> PROByx := Int( Int( f, domy ), domx );

Por último, evaluamos la integral:

> PROByx = evalf(value( PROByx ));

>

Regiones horizontalmente simples: < < , < <

I ntroducimos los límites de integración: x= , x= , y=c, y=d.

> domx := x = y .. Pi/2 ;

> domy := y = 0 .. Pi/2 ;

Comprobamos que hemos descrito correctamente el dominio:

> Dxy := dxdyplot( domx, domy ): print(Dxy);

>

Comprobamos que hemos transcrito correctamente el problema:

> PROBxy := Int( Int( f, domx ), domy );

Por último, evaluamos la integral:

> PROBxy = evalf(value( PROBxy ));

>

Nota : En problemas más complicados quizá resulte difícil comprobar que hemos escrito correctamente los límites al cambiar el orden de integración. Las dos sentencias siguientes pueden ser de utilidad en tal caso.

> display( [ Dxy, Dyx ] );

> display( array( [Dxy,Dyx] ) );

>

Integrales triples: Teorema de Fubini

Ahora disponemos de seis posibilidades para escribir una integral triple como una integral iterada. Supongamos que queremos integrar una

> funcion := F(x,y,z);

en la región limitada por el paraboloide circular y el plano situada en el primer octante.

>

dz-dy-dx

> domz := z = x^2+y^2 .. 2;

> domy := y = 0 .. sqrt(2-x^2);

> domx := x = 0 .. sqrt(2);

> PROBzyx := Int( Int( Int(funcion, domz), domy), domx);

> Dzyx := dzdydxplot( domz, domy, domx ): display(Dzyx, axes=normal);

>

dz-dx-dy

> domz := z = x^2+y^2 .. 2;

> domx := x = 0 .. sqrt(2-y^2);

> domy := y = 0 .. sqrt(2);

> PROBzxy := Int( Int( Int(funcion, domz), domx), domy);

> Dzxy := dzdxdyplot( domz, domx, domy ): display(Dzxy, axes=normal);

>

dx-dy-dz

> domx := x = 0 .. sqrt(z-y^2);

> domy := y = 0 .. sqrt(z);

> domz := z = 0 .. 2;

> PROBxyz := Int( Int( Int(funcion, domx), domy), domz);

> Dxyz := dxdydzplot( domx, domy, domz ): display(Dxyz, axes=normal);

>

Nota : Aunque esta es la descripción más conveniente de la región, debido a errores de redondeo MAPLE tropieza en algún momento con la raíz cuadrada de un número negativo, lo que da lugar al mensaje de error. Compara con el ejemplo dy-dx-dz.

dx-dz-dy

> domx := x = 0 .. sqrt(z-y^2);