Integración múltiple con MAPLE V (III)
Cambio de variables
Inicialización
> restart:
> with( plots ): # librería para trazado de gráficas
> setoptions( thickness=1, font=[TIMES,ROMAN,12], axesfont=[TIMES,ROMAN,8], titlefont=[TIMES,ITALIC,14] );
> setoptions3d( thickness=1, font=[TIMES,ROMAN,12], axesfont=[TIMES,ROMAN,8], titlefont=[TIMES,ITALIC,14], axes=NORMAL );
> with( linalg ): # librería de álgebra lineal (-> Jacobiano)
> with( student ): # librería para cálculo de una variable
> read( "a:calcplot2.txt" ): # librería para cálculo de varias variables (especificar adecuadamente la ruta del directorio donde se encuentra, si no es el mismo de la práctica)
Warning, new definition for norm
Warning, new definition for trace
>
Cambio de variables en el plano y en el espacio
Notación
Sea
* un dominio de
y sea T :
* ->
. La imagen de
* mediante T es
=T(
*).
Cambio de variables en
Transformaciones lineales
> Destrella := x = -1 .. 1, y = -1 .. 1;
> var := [ x, y ];
> T := [ (x+y)/2, (x-y)/2 ];
> plotDestrella := regionplot2d( Destrella, var, title=`D*` ):
> plotD := regionplot2d( Destrella, T, title=`D=T(D*)` ):
> plotDestrella; plotD;
>
Coordenadas polares
> Destrella := theta = 0 .. 2*Pi, r = 0 .. 1;
> var := [ r, theta ];
> T := [ r*cos(theta), r*sin(theta) ];
> plotDestrella := regionplot2d( Destrella, var, title=`D*` ):
> plotD := regionplot2d( Destrella, T, title=`D=T(D*)` ):
> plotDestrella; plotD;
>
Ejemplo
> Destrella := u = 0 .. 1, v = 0 .. 1;
> var := [ u, v ];
> T := [ -u^2+4*u, v ];
> plotDestrella := regionplot2d( Destrella, var, title=`D*` ):
> plotD := regionplot2d( Destrella, T, title=`D=T(D*)` ):
> plotDestrella; plotD;
>
Cambio de variables en
Coordenadas cilíndricas
> Destrella := theta = 0 .. 2*Pi, r = 0 .. 1, z= -1..1;
> var := [ r, theta, z ];
> T := [ r*cos(theta), r*sin(theta), z ];
> plotDestrella := regionplot3d( Destrella, var, title=`D*` ):
> plotD := regionplot3d( Destrella, T, title=`D=T(D*)` ):
> plotDestrella; plotD;
>
Coordenadas esféricas
> Destrella := theta = 0 .. 2*Pi, rho = 0 .. 1, phi= 0..Pi;
> T := [ rho*sin(phi)*cos(theta), rho*sin(phi)*sin(theta), rho*cos(phi) ];
> var := [ rho, theta, phi ];
> plotDestrella := regionplot3d( Destrella, var, title=`D*` ):
> plotD := regionplot3d( Destrella, T, title=`D=T(D*)` ):
> plotDestrella; plotD;
>
Teorema del cambio de variables
Jacobiano - Coordenadas polares
> T := [ r * cos(theta), r * sin(theta) ];
> var := [ r, theta ];
> j := jacobian( T, var );
> jd := det( j ):
> jd := simplify( jd );
>
Jacobiano - Coordenadas cilíndricas
> T := [ r*cos(theta), r*sin(theta), z ];
> var := [ r, theta, z ];
> j := jacobian( T, var );
> jd := det( j ):
> jd := simplify( jd );
>
Jacobiano - Coordenadas esféricas
> T := [ rho*sin(phi)*cos(theta), rho*sin(phi)*sin(theta), rho*cos(phi) ];
> var := [ rho, theta, phi ];
> j := jacobian( T, var );
> jd := det( j ):
> jd := simplify( jd );
>