Integración múltiple con MAPLE V (III)

Cambio de variables

Inicialización

> restart:

> with( plots ): # librería para trazado de gráficas

> setoptions( thickness=1, font=[TIMES,ROMAN,12], axesfont=[TIMES,ROMAN,8], titlefont=[TIMES,ITALIC,14] );

> setoptions3d( thickness=1, font=[TIMES,ROMAN,12], axesfont=[TIMES,ROMAN,8], titlefont=[TIMES,ITALIC,14], axes=NORMAL );

> with( linalg ): # librería de álgebra lineal (-> Jacobiano)

> with( student ): # librería para cálculo de una variable

> read( "a:calcplot2.txt" ): # librería para cálculo de varias variables (especificar adecuadamente la ruta del directorio donde se encuentra, si no es el mismo de la práctica)

Warning, new definition for norm

Warning, new definition for trace

>

Cambio de variables en el plano y en el espacio

Notación

Sea * un dominio de y sea T : * -> . La imagen de * mediante T es =T( *).

Cambio de variables en

Transformaciones lineales

> Destrella := x = -1 .. 1, y = -1 .. 1;

> var := [ x, y ];

> T := [ (x+y)/2, (x-y)/2 ];

> plotDestrella := regionplot2d( Destrella, var, title=`D*` ):

> plotD := regionplot2d( Destrella, T, title=`D=T(D*)` ):

> plotDestrella; plotD;

>

Coordenadas polares

> Destrella := theta = 0 .. 2*Pi, r = 0 .. 1;

> var := [ r, theta ];

> T := [ r*cos(theta), r*sin(theta) ];

> plotDestrella := regionplot2d( Destrella, var, title=`D*` ):

> plotD := regionplot2d( Destrella, T, title=`D=T(D*)` ):

> plotDestrella; plotD;

>

Ejemplo

> Destrella := u = 0 .. 1, v = 0 .. 1;

> var := [ u, v ];

> T := [ -u^2+4*u, v ];

> plotDestrella := regionplot2d( Destrella, var, title=`D*` ):

> plotD := regionplot2d( Destrella, T, title=`D=T(D*)` ):

> plotDestrella; plotD;

>

Cambio de variables en

Coordenadas cilíndricas

> Destrella := theta = 0 .. 2*Pi, r = 0 .. 1, z= -1..1;

> var := [ r, theta, z ];

> T := [ r*cos(theta), r*sin(theta), z ];

> plotDestrella := regionplot3d( Destrella, var, title=`D*` ):

> plotD := regionplot3d( Destrella, T, title=`D=T(D*)` ):

> plotDestrella; plotD;

>

Coordenadas esféricas

> Destrella := theta = 0 .. 2*Pi, rho = 0 .. 1, phi= 0..Pi;

> T := [ rho*sin(phi)*cos(theta), rho*sin(phi)*sin(theta), rho*cos(phi) ];

> var := [ rho, theta, phi ];

> plotDestrella := regionplot3d( Destrella, var, title=`D*` ):

> plotD := regionplot3d( Destrella, T, title=`D=T(D*)` ):

> plotDestrella; plotD;

>

Teorema del cambio de variables

Jacobiano - Coordenadas polares

> T := [ r * cos(theta), r * sin(theta) ];

> var := [ r, theta ];

> j := jacobian( T, var );

> jd := det( j ):

> jd := simplify( jd );

>

Jacobiano - Coordenadas cilíndricas

> T := [ r*cos(theta), r*sin(theta), z ];

> var := [ r, theta, z ];

> j := jacobian( T, var );

> jd := det( j ):

> jd := simplify( jd );

>

Jacobiano - Coordenadas esféricas

> T := [ rho*sin(phi)*cos(theta), rho*sin(phi)*sin(theta), rho*cos(phi) ];

> var := [ rho, theta, phi ];

> j := jacobian( T, var );

> jd := det( j ):

> jd := simplify( jd );

>