Matemáticas y robótica

Un robot es cualquier estructura mecánica que opera con un cierto grado de autonomía, bajo el control de un computador, para la realización de una tarea, y que dispone de un sistema sensorial más o menos evolucionado para obtener información de su entorno. Tradicionalmente la robótica se suele dividir en dos grandes áreas: la robótica de manipulación y la robótica móvil. La robótica de manipulación ha trascendido el campo industrial y junto con la robótica móvil ha dado lugar a infinidad de aplicaciones en áreas muy diversas, que van desde los robots quirúrgicos a los robots humanoides o las mascotas robóticas diseñadas y construidas por grandes multinacionales japonesas.

En esta conferencia nos centraremos en las herramientas matemáticas básicas que se utilizan en robótica. El problema más básico que debe resolverse es obtener un modelo geométrico de la estructura, que permita relacionar los grados de libertad (las variables generalizadas) con las coordenadas cartesianas de todos y cada uno de los puntos que constituyen el robot. Esto se conoce como el problema cinemático directo, y para robots típicos tiene una solución sencilla y universal. Sin embargo, debe observarse que el problema que aparece cuando se pretende posicionar un brazo robótico o una pierna de un humanoide es justo el inverso: se parte de posiciones cartesianas como valores de entrada y se deben encontrar los valores de las variables generalizadas. El problema cinemático inverso sólo puede resolverse de forma analítica en casos muy sencillos, y puede tener 0, 1, 2,... ó infinitas soluciones. En algunos casos particulares es posible hacer un planteamiento relativo basado en matrices jacobianas.

De forma general, el problema cinemático puede formularse como: dado un conjunto arbitrario de restricciones cinemáticas entre sólidos, generar todas las configuraciones espaciales de estos sólidos que las satisfacen. Cuando exista un número infinito de tales configuraciones deberá obtenerse una discretización completa del conjunto solución. Los sólidos son los elementos rígidos que integran el mecanismo de un robot, y las restricciones cinemáticas son las impuestas por sus bucles cinemáticos (secuencias cerradas de sólidos y articulaciones) y/o por restricciones de contacto con el entorno. La obtención de un método general para este propósito, sin limitaciones del tipo o cantidad de las restricciones impuestas, constituye todavía hoy un problema abierto de la robótica.

Debe observarse que el planteamiento cinemático no es válido cuando se pretende manipular objetos en movimiento. Es necesario entonces plantear modelos dinámicos donde intervenga el tiempo. Las ecuaciones diferenciales que describen la dinámica de los robots son no lineales. Piénsese en el problema del péndulo invertido, que podría considerarse como un robot con un grado de libertad, donde es posible utilizar una aproximación lineal (en torno al punto de equilibrio). Esto supondría limitar el espacio de trabajo del robot, lo cual no es posible.

Debe también tenerse en cuenta que un robot debe moverse en tiempo real, por lo cual es necesario plantear soluciones de baja complejidad computacional. Esto hace, por ejemplo, que se prefiera la formulación de Newton-Euler antes que otras más elegantes como la lagrangiana. Como ejemplo de control de un robot se describirá la solución clásica basada en controladores PID y el control de perturbación adaptativa.

En último lugar, se mencionará asimismo la aplicación de la lógica difusa tanto a la robótica de manipulación como a la robótica móvil. La idea es disponer de una herramienta que permita relacionar las variables sensoriales con las variables de actuación cuando no se conocen relaciones analíticas. La lógica difusa obtiene relaciones numéricas entrada/salida a partir de sistemas basados en reglas. Frente a otros planteamientos, como las redes neuronales, permite realizar estudios de estabilidad de una manera relativamente sencilla, y por lo tanto definir las condiciones en las cuales no se producirá un mal funcionamiento del sistema.

Referencias

R.C. Arkin: Behaviour based robotics. MIT Press, 1997.

J. Canny: The complexity of robot motion planning. MIT Press, 1988.

J. Craig: Introduction to robotics, mechanics and control. Addison Wesley, 1985.

K.S. Fu, R.C. González, C.S.G. Lee: Robótica: Control, detección, visión e inteligencia. McGraw-Hill, 1988.

A. Ollero: Robótica: Manipuladores y robots móviles. Marcombo, 2001.

R.P. Paul: Robot manipulators: Mathematics, programming and control. MIT Press, 1982.

M.W. Spong, M. Vidyasagar: Robot dynamics and control. John Wiley and Sons, 1989.


	Matemáticas y robótica Leopoldo Acosta Sánchez Catedrático de Ingeniería de Sistemas y Automática Departamento de Física Fundamental y Experimental, Electrónica y Sistemas, Universidad de La Laguna *Resumen*
	Un robot es cualquier estructura mecánica que opera con un cierto grado de autonomía, bajo el control de un computador, para la realización de una tarea, y que dispone de un sistema sensorial más o menos evolucionado para obtener información de su entorno. Tradicionalmente la robótica se suele dividir en dos grandes áreas: la robótica de manipulación y la robótica móvil. La robótica de manipulación ha trascendido el campo industrial y junto con la robótica móvil ha dado lugar a infinidad de aplicaciones en áreas muy diversas, que van desde los robots quirúrgicos a los robots humanoides o las mascotas robóticas diseñadas y construidas por grandes multinacionales japonesas. En esta conferencia nos centraremos en las herramientas matemáticas básicas que se utilizan en robótica. El problema más básico que debe resolverse es obtener un modelo geométrico de la estructura, que permita relacionar los grados de libertad (las variables generalizadas) con las coordenadas cartesianas de todos y cada uno de los puntos que constituyen el robot. Esto se conoce como el problema cinemático directo, y para robots típicos tiene una solución sencilla y universal. Sin embargo, debe observarse que el problema que aparece cuando se pretende posicionar un brazo robótico o una pierna de un humanoide es justo el inverso: se parte de posiciones cartesianas como valores de entrada y se deben encontrar los valores de las variables generalizadas. El problema cinemático inverso sólo puede resolverse de forma analítica en casos muy sencillos, y puede tener 0, 1, 2,... ó infinitas soluciones. En algunos casos particulares es posible hacer un planteamiento relativo basado en matrices jacobianas. De forma general, el problema cinemático puede formularse como: dado un conjunto arbitrario de restricciones cinemáticas entre sólidos, generar todas las configuraciones espaciales de estos sólidos que las satisfacen. Cuando exista un número infinito de tales configuraciones deberá obtenerse una discretización completa del conjunto solución. Los sólidos son los elementos rígidos que integran el mecanismo de un robot, y las restricciones cinemáticas son las impuestas por sus bucles cinemáticos (secuencias cerradas de sólidos y articulaciones) y/o por restricciones de contacto con el entorno. La obtención de un método general para este propósito, sin limitaciones del tipo o cantidad de las restricciones impuestas, constituye todavía hoy un problema abierto de la robótica. Debe observarse que el planteamiento cinemático no es válido cuando se pretende manipular objetos en movimiento. Es necesario entonces plantear modelos dinámicos donde intervenga el tiempo. Las ecuaciones diferenciales que describen la dinámica de los robots son no lineales. Piénsese en el problema del péndulo invertido, que podría considerarse como un robot con un grado de libertad, donde es posible utilizar una aproximación lineal (en torno al punto de equilibrio). Esto supondría limitar el espacio de trabajo del robot, lo cual no es posible. Debe también tenerse en cuenta que un robot debe moverse en tiempo real, por lo cual es necesario plantear soluciones de baja complejidad computacional. Esto hace, por ejemplo, que se prefiera la formulación de Newton-Euler antes que otras más elegantes como la lagrangiana. Como ejemplo de control de un robot se describirá la solución clásica basada en controladores PID y el control de perturbación adaptativa. En último lugar, se mencionará asimismo la aplicación de la lógica difusa tanto a la robótica de manipulación como a la robótica móvil. La idea es disponer de una herramienta que permita relacionar las variables sensoriales con las variables de actuación cuando no se conocen relaciones analíticas. La lógica difusa obtiene relaciones numéricas entrada/salida a partir de sistemas basados en reglas. Frente a otros planteamientos, como las redes neuronales, permite realizar estudios de estabilidad de una manera relativamente sencilla, y por lo tanto definir las condiciones en las cuales no se producirá un mal funcionamiento del sistema. *Referencias* R.C. Arkin: Behaviour based robotics. MIT Press, 1997. J. Canny: The complexity of robot motion planning. MIT Press, 1988. J. Craig: Introduction to robotics, mechanics and control. Addison Wesley, 1985. K.S. Fu, R.C. González, C.S.G. Lee: Robótica: Control, detección, visión e inteligencia. McGraw-Hill, 1988. A. Ollero: Robótica: Manipuladores y robots móviles. Marcombo, 2001. R.P. Paul: Robot manipulators: Mathematics, programming and control. MIT Press, 1982. M.W. Spong, M. Vidyasagar: Robot dynamics and control. John Wiley and Sons, 1989.